¿Cómo interpretar el resultado de un estudio médico?

Imagina que tu doctor ordena un estudio para determinar si tienes cierta enfermedad y sales positivo :(. Obviamente salir positivo no es nada bueno, pero ¿acaso esto es motivo de alarma? Afortunadamente para ti, en la realidad los estudios nunca son 100% correctos. Pero entonces, ¿cómo interpretar el resultado del estudio? ¿Es posible determinar con exactitud cuál es la probabilidad de que efectivamente tengas la enfermedad?

Para determinar esto tenemos que saber el nivel de sensibilidad y especificidad del estudio. La sensibilidad mide el porcentaje de veces en que el estudio sale positivo cuando el paciente efectivamente tiene la enfermedad (positivos verdaderos), mientras que la especificidad mide el porcentaje de veces en que el estudio sale negativo cuando el paciente efectivamente no tiene la enfermedad (negativos verdaderos).

Digamos que el estudio que te hiciste es bastante bueno y tiene una sensibilidad y especificidad del 90%. ¿Podemos entonces concluir que, dado que tu resultado fue positivo, tienes un 90% de probabilidad de tener la enfermedad?

¡Resulta que no!

El significado del resultado cambia dramáticamente dependiendo cuán común es la enfermedad en cuestión.

Para enfermedades comunes, salir positivo en un estudio con alta sensibilidad y especificidad, significa que es bastante probable que efectivamente tengas la enfermedad. Pero, curiosamente, para enfermedades poco comunes, este resultado podría no significar gran cosa.

Digamos, por ejemplo, que la enfermedad es cuestión es una infección común que ocurre en el 98% de la gente; en este caso, la probabilidad de que tengas la enfermedad dado que el estudio salió positivo, sube hasta alrededor del 99%. Pero si se tratara de un tipo poco común de cáncer que sólo ocurre en el 2% de la población, entonces la probabilidad en cuestión ¡sería solamente de alrededor del 16%! Es decir, aun saliendo positivo, sería relativamente poco probable que tuvieras la enfermedad.

Así que ya lo sabes, si sales positivo en un estudio de una enfermedad muy poco común, no te alarmes demasiado: incluso si el estudio fuera muy bueno, la probabilidad de que efectivamente tengas la enfermedad puede ser sorprendentemente baja :).

*

‘¿Y se supone que tenemos que creer ciegamente todo lo que dice este tipo?’

No, definitivamente no :). Veamos cómo obtuve mis resultados.

Para empezar, para facilitar la exposición, digamos que E denota que tienes la enfermedad, P denota que el estudio de dicha enfermedad salió positivo, y N denota que salió negativo.

Utilizaremos la notación estándar: la expresión \mathbb{P}(A) denota la probabilidad de que el evento A sea cierto, y la expresión \mathbb{P}(A|B) denota la probabilidad de que A sea cierto asumiendo que el evento B es cierto.

Sabemos que el estudio tiene una sensibilidad y una especificidad del 90%; por lo tanto, tenemos que

Sensibilidad Especificidad
\mathbb{P}(P|E) = 0.9 \mathbb{P}(N|\neg E) = 0.9
\mathbb{P}(N|E) = 0.1 \mathbb{P}(P|\neg E) = 0.1

Queremos calcular la probabilidad de que el paciente tenga la enfermedad dado que el resultado fue positivo; es decir, queremos calcular el valor de \mathbb{P}(E|P).

Para hacerlo, podemos aplicar el famoso teorema de Bayes:

\mathbb{P}(E|P) = \dfrac{\mathbb{P}(P|E)\mathbb{P}(E)}{\mathbb{P}(P)}

Para calcular el valor de \mathbb{P}(P) podemos aplicar la regla de la probabilidad total, la cual rompe la probabilidad de cierto evento en los casos posibles. En este caso, sólo hay dos opciones: el paciente tiene o no la enfermedad. Así, tenemos que

\mathbb{P}(P) = \mathbb{P}(P|E)\mathbb{P}(E) + \mathbb{P}(P|\neg E)\mathbb{P}(\neg E)

Por lo tanto:

\mathbb{P}(E|P) = \dfrac{\mathbb{P}(P|E)\mathbb{P}(E)}{\mathbb{P}(P|E)\mathbb{P}(E) + \mathbb{P}(P|\neg E)\mathbb{P}(\neg E)}

Enfermedad común

En este caso, sabemos que la enfermedad ocurre en el 98% de la gente; por lo tanto, tenemos que \mathbb{P}(E) = 0.98 y \mathbb{P}(\neg E) = 0.02. Aplicando el teorema de Bayes, tenemos que

\mathbb{P}(E|P) = \dfrac{0.9 * 0.98}{0.9 * 0.98 + 0.1 * 0.02} = \dfrac{0.882}{0.884} \approx 0.99

O sea que la probabilidad de que tengas la enfermedad común, dado que el resultado del estudio fue positivo, es de aproximadamente el 99%.

Enfermedad poco común

En este caso, tenemos que \mathbb{P}(E) = 0.02 y \mathbb{P}(\neg E) = 0.98. Así pues, tenemos que

\mathbb{P}(E|P) = \dfrac{0.9 * 0.02}{0.9 * 0.02 + 0.1 * 0.98} = \dfrac{0.018}{0.116} \approx 0.16

O sea que la probabilidad de que tengas la enfermedad poco común, dado que el resultado del estudio fue positivo, es de aproximadamente sólo el 16% :).

De la misma manera podríamos calcular, para la enfermedad común y la poco común, la probabilidad de que no tengas la enfermedad asumiendo un resultado negativo (i.e., \mathbb{P}(\neg E|N)). Resumiendo, tenemos:

\mathbb{P}(E) \mathbb{P}(E|P) \mathbb{P}(\neg E|N)
Enfermedad común 98% 99% 16%
Enfermedad poco común 2% 16% 99%

Es fascinante todo lo que podemos inferir sólo de un montón de numeritos, ¿no?

Hekanibru

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