El Addendum de Frege

Considere mi querido lector el conjunto I de todas las ideas. Note que dado que I es también una idea, tenemos que I se contiene a sí mismo.

Ahora vayamos un poquito más lejos: consideremos el conjunto C de todos los conjuntos que se contienen a sí mismos. Estará de acuerdo conmigo, que I pertenece a C.

Finalmente, considere el conjunto N de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. Obviamente, I no pertenece a N.

Ahora viene una pregunta venenosa: ¿N se contiene a sí mismo?

Pensemos.

Tenemos dos posibilidades:

  1. N se contiene a sí mismo.
  2. N no se contiene a sí mismo.

Analicemos pues, la primera alternativa. Supongamos que N se contiene a sí mismo. Pero, momento! Se supone que N contiene todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos! Por lo tanto, esta alternativa nos lleva a una contradicción.

OK, analicemos ahora la única otra alternativa: N no se contiene a sí mismo. Pero, momento! Dado que N es un conjunto que no se contiene a sí mismo, se supone por definición que N debería contenerse a sí mismo! Otra contradicción!

Esta paradoja, hecha famosa por Bertrand Russell, fue uno de los golpes letales que sufrió la teoría de conjuntos de Georg Cantor y Gottlob Frege.

Frege basó su monumental obra “Die Grundlagen der Arithmetik” (Las Leyes Básicas de la Aritmética) en la teoría de conjuntos, obra con la que intentó darle un fundamento lógico a las matemáticas. Dramáticamente, Frege se enteró de la paradoja mediante una carta de Russell que recibió mientras el segundo volumen de la Grundlagen aún estaba imprimiéndose.

Cómo se habrá sentido el pobre de Frege al leer dicha carta! Imagínense! La obra de su vida basada en una horrible contradicción.

Guardando las descomunales proporciones, a mí me pasó algo similar. Aún tengo pesadillas con el infame email que recibí de mi supervisor a finales de mi primer año de doctorado. “Bad News” decía el título y con un simple ejemplo destruía sin piedad el algoritmo en el que se basaba mi tesis.

En un acto de admirable honestidad e integridad intelectual, Frege añadió un desgarrador addendum a su libro:

Difícilmente algo más desafortunado puede ocurrirle a un científico que ver los cimientos de su obra sacudidos después de que ésta ha sido concluida. Una carta del señor Bertrand Russell me ha puesto en esta situación, justo cuando la imprenta de este volumen se acercaba a su fin.

El colapso de una de mis leyes, una de las consecuencias de la paradoja del señor Russell, parece quebrantar no sólo las bases de mi Aritmética, sino las únicas posibles bases de la Aritmética como tal.

Así son las matemáticas, brutalmente claras y frías. Un solo contraejemplo, una sencilla paradoja, hace colapsar a la más colosal de las teorías.

No puedo más que aplaudir la respuesta de Frege. Por muy dolorosa que sea, la verdad es primero. Bravo señor! Me quito el sombrero ante usted.

Hekanibru

Fuentes: [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7].

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